Sebuah proses stokastik adalah entitas matematis yang digunakan untuk merepresentasikan evolusi suatu sistem seiring waktu yang dikendalikan oleh hukum probabilitas, bukan aturan deterministik. Berbeda dengan satu variabel acak, kita mendefinisikannya secara mendasar sebagai kumpulan variabel acak $\{X_n : n \in T\}$ yang diindeks berdasarkan waktu. Dalam pelajaran ini, kita fokus pada Jalan Acak Sederhana (SRW)βmodel waktu diskret yang mensimulasikan kekayaan seorang pemain judi, dimulai dari nilai awal ($a$) dan berkembang melalui taruhan independen.
1. Mekanisme Jalan Acak Sederhana
Kita menyatakan keadaan jalan tersebut pada waktu $n$ sebagai jumlah dari penambahan independen:
$$X_n = a + Z_1 + Z_2 + \dots + Z_n$$
di mana setiap $Z_i$ mewakili hasil taruhan: $+1$ (menang) dengan probabilitas $p$, dan $-1$ (kalah) dengan probabilitas $q = 1-p$.
Misalkan $\{X_n\}$ adalah jalan acak sederhana. Jika $k$ adalah bilangan bulat sedemikian sehingga $-n \leq k \leq n$ dan $n + k$ genap, maka probabilitas berada di keadaan $a+k$ setelah $n$ langkah adalah:
$$P(X_n = a+k) = \binom{n}{\frac{n+k}{2}} p^{(n+k)/2} q^{(n-k)/2}$$
Rintangan Kritis: Untuk semua nilai $k$ lainnya (di mana $n+k$ ganjil atau $|k| > n$), $P(X_n = a + k) = 0$. Pemeriksaan 'paritas' ini memastikan bahwa Anda hanya dapat mencapai keadaan tertentu berdasarkan jumlah langkah yang diambil.
2. Ekspektasi dan Keadilan
Laju rata-rata proses bergantung pada probabilitas $p$. Nilai ekspektasi pada waktu $n$ diberikan oleh:
$E(X_n) = a + n(2p - 1)$
- Permainan Adil ($p = 1/2$): Proses ini merupakan Martingale. Secara rata-rata, kekayaan tetap konstan: $E(X_{n+1} - X_n | X_n) = 0$.
- Permainan Kurang Menguntungkan ($p < 1/2$): Proses ini mengalir ke bawah menuju kehancuran.
- Permainan Lebih Menguntungkan ($p > 1/2$): Proses ini mengalir ke atas.
3. Lanskap yang Lebih Luas
Meskipun SRW menangani jumlah diskret, proses stokastik juga mencakup model kontinu. Sebagai contoh, Proses Poisson ($N_t$) memiliki penambahan independen di mana $P(N_t = k) = e^{-at} \frac{(at)^k}{k!}$. Kita juga melihat dinamika ini dalam distribusi tujuan untuk sampling MCMC, seperti $f(y) = e^{-y^4}(1+|y|)^3$. Proses-proses ini sering menggunakan notasi transisi seperti $v_1 = v_0 A$.